Một xưởng sản xuất nước mắm, mỗi lít nước mắm loại $I$ cần $3\;{\rm{kg}}$ cá và 2 giờ công lao động, đem lại mức lãi là ?

Một xưởng sản xuất nước mắm, mỗi lít nước mắm loại $I$ cần $3\;{\rm{kg}}$ cá và 2 giờ công lao động, đem lại mức lãi là 50000 đồng; mỗi lít nước mắm loại II cần $2\;{\rm{kg}}$ cá và 3 giờ công lao động, đem lại mức lãi là 40000 đồng. Xưởng có không quá $230\;{\rm{kg}}$ cá và thời gian làm việc tối đa 220 giờ. Hỏi xưởng đó nên sản xuất mỗi loại nước mắm bao nhiêu lít để có mức lãi cao nhất?

Đáp án

Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước mắm loại I, II xưởng đó sản xuất.
Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y \ge 0\\ 3x + 2y \le 230\\ 2x + 3y \le 220 \end{array} \right.$
Miền nghiệm trong hệ phương trình được biểu diễn là miền không bị gạch trong hình sau:

Như vậy chúng ta có bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm $F = 50000x + 40000y$ với $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Do đó chúng ta xét giá trị của $F = 50000x + 40000y$ tại các đỉnh $O,A,B,C$ và suy ra giá trị lớn nhất của $F$ là 4100000 đồng tại $A(50;40).$Vậy để thu được lãi nhiều nhất thì xưởng đó nên sản xuất 50 lít nước mắm loại I và 40 lít nước mắm loại II.